Question

S=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

20082

，求[S]．

Answer 1

考点：取整计算

专题：计算题

分析：先把等式两边乘以2；由于（

1

a

-

1

b

）²≥0，则

1

a2

+

1

b2

≥

2

ab

（a＞0，b＞0，当a与b相等时取等号），则2S＞1+

2

1×2

+

1

2×3

2

3×4

+…+

1

2007×2008

+

1

20082

，然后利用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

进行计算得到2S＞1+

2007

1004

+

1

20082

，得到S＞1.4546，再根据取整计算即可得到[S]=1．

解答：解：根据

1

a2

+

1

b2

≥

2

ab

得
2S=1+1+

1

22

+

1

22

+

1

32

+

1

32

+…+

1

20082

+

1

20082

，
∴2S＞1+

2

1×2

+

2

2×3

+

2

3×4

+…+

2

2007×2008

+

1

20082

，
∴2S＞1+2×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2007

-

1

2008

）+

1

20082

，
∴2S＞1+

2007

1004

+

1

20082

，
∴S＞1.4546，
∴[S]=1．

点评：本题考查了取整计算：[x]表示不大于x的最大整数．也考查了

1

a2

+

1

b2

≥

2

ab

（a＞0，b＞0，当a与b相等时取等号）以及

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．