Question

如图，四边形PQRS与边长为10的正方形ABCD的内侧相接，SE⊥BC于E，PF⊥CD于F，且RQ=9，EQ=2，RF=3，请求出四边形PQRS的面积．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：计算题

分析：求出矩形ABES、矩形DSEC、矩形APFD、矩形PBCF，推出AS=BE，BP=CF，DF=AP，DS=CE，设BP=a，BE=x，用a、x把AP、QB、CQ、CR、DR、DS、AS表示出来，根据三角形的面积和正方形的面积，即可求出四边形PQRS的面积．

解答：解：∵SE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠ASE=∠BES=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABES是矩形，
同理四边形APFD、四边形DSEC、四边形BCFP都是矩形，
∴AS=BE，AP=DF，BP=CF，DS=CQ，
设BP=a，BE=x，
则BQ=x+2，CF=a，
CQ=10-（x+2）=8-x，CR=a+3，AP=10-a，DE=10-x，DR=10-a-3=7-a，CR=a+3，
∴S_{四边形PQRS}=S_{正方形ABCD}-S_△PBQ-S_△QCR-S_△SDR-S_△APS
=100-

1

2

BP×BQ-

1

2

CQ×CR-

1

2

DR×DS-

1

2

AP×AS
=100-

1

2

（x+2）a-

1

2

（8-x）（a+3）-

1

2

（7-a）（10-x）-

1

2

（10-a）x
=53，
答：四边形PQRS的面积是53．

点评：本题考查了正方形的性质、三角形的面积、矩形的性质和判定的应用，关键是能把求不规则图形的面积转化成规则图形的面积来求（如转化成求正方形的面积三角形的面积的和或差的形式）．