Question

4．如图，点O为坐标原点，直线l：y=kx+2（k＜0）与x轴、y轴分别交于点G（m，0），点C（0，2），B是直线l上的一点，且点A（2，0）．
（1）若∠GCA=15°，m＞2，求直线l的解析式；
（2）若AB⊥BC，AB=1，求m的值；
（3）若点B在第一象限，且AB=AO，△OBC是等腰三角形，直接写出点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出点G坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形①m＞2时，如图2中，Rt△GOC∽△Rt△GBA，②0＜m＜2时，如图3中，分别求解即可．
（3）分三种情形讨论求解即可．①当OC=OB时，△OBA是等边三角形时，△OBC是等腰三角形，此时B（1，$\sqrt{3}$）．②当BC=OB时，易知B的纵坐标为1，设横坐标为x，则有1²+（2-x）²=2²．③当CO=CB时，BC∥x轴，不符合题意．

解答 解：（1）如图1中，

∵OC=OA=2，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
∵∠GCA=15°，m＞2，
∴∠GCO=60°，
在Rt△GOC中，CO=2，
∴OG=2$\sqrt{3}$，
∴G（2$\sqrt{3}$，0），
设直线GC的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．

（2）①m＞2时，如图2中，Rt△GOC∽△Rt△GBA，

∵AB=1，OC=2，AG=m-2，
∴4+m²=（4-2m）²，
解得m=$\frac{8+2\sqrt{7}}{3}$或$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$（舍弃），
②0＜m＜2时，如图3中，

同理可得m=$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$，
∴m=$\frac{8+2\sqrt{7}}{3}$或$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$．

（3）①当OC=OB时，△OBA是等边三角形时，△OBC是等腰三角形，此时B（1，$\sqrt{3}$），
②当BC=OB时，易知B的纵坐标为1，设横坐标为x，
则有1²+（2-x）²=2²，
解得x=2$±\sqrt{3}$，
∴B（2+$\sqrt{3}$，1）或（2-$\sqrt{3}，1$），
③当CO=CB时，BC∥x轴，不符合题意．
综上所述，满足条件的点B坐标为（1，$\sqrt{3}$）或（2-$\sqrt{3}$，1）或（2+$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．