Question

有一组平行线a∥b∥c，过点A作AM⊥b于M，作∠MAN=60°，且AN=AM，过点N作CN⊥AN交直线c于点C，在直线b上取点B使BM=CN，则△ABC为

 

三角形，若直线a与b间的距离为1，b与c间的距离为2，则AC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线之间的距离,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：证明△ABM≌△ACN（SAS），即可证出AB=AC，∠BAC=∠CAN=60°，证出世纪星ABC为等边三角形；在图1中，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，由勾股定理先求出CN的值就可以求出AC的值．

解答：解：∵AM⊥b，CN⊥AN，
∴∠AMB=∠ANC=90°，
在△ABM与△ACN中，

AM=AN ∠AMB=∠ANC BM=CN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠BAM=∠CAN，AB=AC；
∴∠BAC=∠MAN=60°，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边．

如图1，过点N作HG⊥a于H，交c于点G，
∴∠AHN=∠NGC=90°．
∵∠MAN=60°，
∴∠HAN=30°，
∴HN=AN，∠ANH=60°，
∵AM=AN=1，
∴HN=0.5．
∴HG=2.5．
∵CN⊥AN，
∴∠ANC=90°，
∴∠ANH+∠CNG=90°，
∴∠CNG=30°，
∴CN=2CG，
在Rt△CGN中，由勾股定理，得
4CG²-CG²=

25

4

，CG=

5 3

6

∴CN=

5 3

3

在Rt△ANC中，由勾股定理，得
AC²=(

5 3

3

)2+1，
∴AC=

2 21

3

；
故答案为：

2 21

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．