Question

5．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②n=c-a；③3a+b＞0；④-1＜a＜-$\frac{2}{3}$．其中正确的结论有（　　）

• A． 1 个
• B． 2 个
• C． 3 个
• D． 4 个

Answer 1

分析 由抛物线与x轴的交于点A（-1，0）且对称轴为x=1，知函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），结合图象可判断①；由对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1得b=-2a，将其代入n=a+b+c可判断②；由开口方向知a＜0，将b=-2a代入3a+b即可判断③；由图象过（-1，0）知a-b+c=0，将b=-2a代入可得c=-3a，结合抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）得2＜c＜3，即2＜-3a＜3，从而判断④．

解答 解：∵函数图象与x轴交于点A（-1，0），且对称轴为x=1，
则函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＞3时，y＜0，故①正确；

∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n=a+b+c=a-2a+c，即n=c-a，故②正确；

∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，故③错误；

∵函数图象过点（-1，0），即x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
∵b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点），
∴2＜c＜3，即2＜-3a＜3，
解得：-1$＜a＜-\frac{2}{3}$，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．

点评 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．③常数项c决定抛物线与y轴交点．④抛物线与x轴交点个数取决于b²-4ac的值是解题的关键