Question

10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=1，OA=2，求CD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；
（2）证明△ACB∽△ADC，得出AC²=AD•AB，根据勾股定理即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠ACD=∠B，
∴△ACB∽△ADC，
∴AC²=AD•AB=1×4=4，
∴AC=2，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．