Question

11．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，点M是劣弧AB上一动点（不与点A、B重合），过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于点P，MD与OA交于点N．
（1）求证：PM=PN；
（2）当点M运动到何处时，△PMN是等边三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得到OM⊥PM和BD⊥OA得出互余的关系，即可；
（2）利用互余得到∠BDM=30°即可．

解答 （1）证明：∵BD⊥OA，
∴∠AOD=90°，
∴∠ODM+∠OND=90°，
∵OD=OM，
∴∠ODM=∠OMD，
∴∠OMD+∠OND=90°
∵PM切⊙O于M，
∴∠OMD+∠PMN=90°，
∴∠OND=∠PMN，
∵∠OND=∠MNP，
∴∠PMN=∠MNP，
∴PM=PN；
（2）当点M运动到满足，$\widehat{BM}$=2$\widehat{AM}$（∠BOM=60°）时，△PMN是等边三角形
由（1）有，∠PMN=∠MNP，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠MNP=60°，
∴∠OND=60°，
∴∠ODM=30°，
∴$\widehat{BM}$=2$\widehat{AM}$（∠BOM=60°）．

点评 此题是圆的切线，主要考查了圆的切线的性质，同角的与角相等，角的等量代换是解本题的关键．