Question

如图，在⊙O中，弦AB∥弦CD，且AB，CD位于圆心O的两侧，AB=8，CD=6，AB，CD之间的距离为7，连接OA，OC．
（1）求⊙O的半径；
（2）过点A作⊙O的切线，交DC的延长线于点E，求线段CE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）作OM⊥AB于E，交CD与N，如图，设⊙O的半径为r，根据平行线的性质得ON⊥CD，则利用垂径定理得到AM=

1

2

AB=4，CN=

1

2

CD=3，根据平行线间的距离得到MN=7，接着根据勾股定理得OM²+4²=r²①，ON²+3²=r²②，利用②-①得ON²-OM²=7，加上OM+On=7可解得ON=4，OM=3，则OA=

AM2+OM2

=5；
（2）作AH⊥CD于H，连结OE，如图，则AH=MN=7，易得Rt△OAM≌Rt△CON，则∠AOM=∠OCN，于是可证得∠AOM+∠CON=90°，则OA⊥OC，再根据切线的性质得OA⊥AE，所以
OC∥AE，根据平行线的性质有OCN=∠AEM，于是可判断△OCN∽△AEH，利用相似比计算出EH=

21

4

，加上HC=HN-CN=4-3=1，所以EC=EH+HC=

25

4

．

解答：解：（1）作OM⊥AB于E，交CD与N，如图，设⊙O的半径为r，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，
∴AM=

1

2

AB=4，CN=

1

2

CD=3，MN=7，
在Rt△AOM中，∵OM²+AM²=OA²，
∴OM²+4²=r²①，
在Rt△CON中，∵ON²+CN²=OC²，
∴ON²+3²=r²②，
②-①得ON²-OM²=7，
∴（ON+OM）（ON-OM）=7，
∴ON-OM=1，
∴ON=4，OM=3，
∴OA=

AM2+OM2

=5，
即⊙O的半径为5；
（2）作AH⊥CD于H，连结OE，如图，则AH=MN=7，
在Rt△OAM和Rt△CON中

OM=CN OA=CO

，
∴Rt△OAM≌Rt△CON，
∴∠AOM=∠OCN，
∵∠AOM+∠CON=90°，
∴∠AOM+∠CON=90°，
∴OA⊥OC，
∵AE为切线，
∴OA⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠OCN=∠AEM，
∴△OCN∽△AEH，
∴

CN

EH

=

ON

AH

，即

3

EH

=

4

7

，解得EH=

21

4

，
∵HN=AM=4，
∴HC=HN-CN=4-3=1，
∴EC=EH+HC=

21

4

+1=

25

4

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、切线的性质和三角形全等的判定与性质．