Question

6．如图，在△ABC中，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，FD²=FB•FC，求证：AD平分△BAC．

Answer 1

分析 连结FA，如图，根据线段垂直平分线性质得FA=FD，则利用等腰三角形的性质得∠EAF=∠EDF，由于FD²=FB•FC，则FA²=FB•FC，加上∠AFC=∠BFA，于是可判断△FAC∽△FBA，根据相似三角形的性质得∠FAC=∠B，接着利用三角形外角性质得∠EDF=∠B+∠BAD，所以∠CAD=∠BAD，于是可判断AD平分∠BAC．

解答 证明：如图，连接AF，

∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，∠EAF=∠EDF，
∵FD²=FB•FC即$\frac{DF}{CF}=\frac{BF}{DF}$，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{BF}{AF}$，
∵∠AFC=∠BFA，
∴△AFC∽△BFA，
∴∠FAC=∠B，
∵∠EAF=∠EDF即∠FAC+∠CAD=∠BAD+∠B，
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，只有运用对应角相等，对应边的比相等．也考查了线段垂直平分线的性质