Question

2．如图，已知菱形ABCD对角线交于点O，AE⊥CD于E，AE=OD，则∠CAE=30°．

Answer 1

分析 由四边形ABCD为菱形，得到对角线互相垂直，进而得到一对直角相等，再由对顶角相等，得到三角形AFO与三角形DFE相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AEC与三角形DOC全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=CD，进而确定出三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质及三线合一性质即可求出所求角的度数．

解答 解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AD=DC，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠DOC=90°，
∵∠AOD=∠AED=90°，∠AFO=∠DFE，
∴△AFO∽△DFE，
∴∠CAE=∠CDO，
在△AEC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CDO}\\{AE=OD}\\{∠AEC=∠DOC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DOC（ASA），
∴AC=CD，
∴AC=CD=AD，即△ACD为等边三角形，
∵AE⊥CD，
∴AE为∠CAD的平分线，
则∠CAE=30°．
故答案为：30°．

点评 此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．