Question

6．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象经过点$A（-\sqrt{3}，2）$，过点A作AB⊥x轴于点B，连结AO．
（1）求k的值；
（2）如图，若直线y=ax+b经过点A，与x轴相交于点C，且满足S_△ABC=2S_△AOC．求：
①直线y=ax+b的表达式；
②记直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的另一交点为D（n，-1），试求△AOD的面积S_△AOD以及使得不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）①根据S_△ABC=2S_△AOC可得出OB=OC，再由点A的坐标即可得出点B、C的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的表达式；
②根据点D的纵坐标即可求出点D的坐标，结合三角形的面积公式可求出△AOD的面积，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象经过点A（-$\sqrt{3}$，2），
∴k=-$\sqrt{3}$×2=-2$\sqrt{3}$．
（2）①∵S_△ABC=2S_△AOC，
∴BC=2OC，
∴OB=OC．
∵点A（-$\sqrt{3}$，2），
∴点B（-$\sqrt{3}$，0），点C（$\sqrt{3}$，0）．
将点A（-$\sqrt{3}$，2）、C（$\sqrt{3}$，0）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}a+b=2}\\{\sqrt{3}a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的表达式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．
②连接OD，如图所示．
∵点D（n，-1），
∴n=-2$\sqrt{3}$÷（-1）=2$\sqrt{3}$．
S_△AOD=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×[2-（-1）]=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
观察函数图象，可知：
当x＜-$\sqrt{3}$或0＜x＜2$\sqrt{3}$时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解为x＜-$\sqrt{3}$或0＜x＜2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．