Question

1．如图，∠ABD和∠BDC两个角的平分线交于点E，DE的延长线交AB于F．
（1）如果∠1+∠2=90°，那么AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）如果AB∥CD，那么∠2和∠3互余吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，再由∠1+∠2=90°可得出∠ABD+∠BDC=180°，依据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论；
（2））根据平行线的性质可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，再由AB∥CD可得出∠ABD+∠BDC=180°，根据角的关系即可得出∠1+∠2=90°，结合直角三角形的性质及等量替换即可得出∠2+∠3=90°，此题得解．

解答 解：（1）平行，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2×（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD．
（2）互余，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BED=90°，∠BEF=90°，
∴∠EBF+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠2和∠3互余．

点评 本题考查了平行线段的判定及性质、余角和补角以及角的计算，解题的关键是：（1）找出∠ABD+∠BDC=180°；（2）找出∠2+∠3=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，牢记平行线的判定及性质是关键．