Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=30，D是AB上一点，AD：CD=25：7，且DB=DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是18．

Answer 1

分析 如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD=BD=25k，CD=7k，在Rt△DCB中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=24k，在Rt△ACB中，由AC²+BC²=AB²，可得（32k）²+（24k）²=30²，推出k=$\frac{3}{4}$，BC=18，由△ADH≌△BDC，推出AH=BC=18，由S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AH=$\frac{1}{2}$•AD•PF+$\frac{1}{2}$•BD•PF，推出PE+PF=AH=18，

解答 解：如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD=BD=25k，CD=7k，
在Rt△DCB中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=24k，
在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴（32k）²+（24k）²=30²，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴BC=18，
在△ADH和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠BDC}\\{∠H=∠C=90°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BDC，
∴AH=BC=18，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AH=$\frac{1}{2}$•AD•PF+$\frac{1}{2}$•BD•PF，
∴PE+PF=AH=18，
故答案为18．

点评 本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．