Question

1．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B₁是点B关于PQ的对称点．
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ：BP=1：2，且点B₁落在OA上，求点B₁的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B₁作B₁F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若B₁E：B₁F=1：3，点B₁的横坐标为m，求点B₁的纵坐标，并直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据OA=4，OC=2，可得点B的坐标；
②利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标；
（2）根据平行四边形的性质，且分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析解答．

解答 解：（1）∵OA=4，OC=2，
∴点B的坐标为（4，2）；
②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D，

∵BQ：BP=1：2，点B关于PQ的对称点为B₁，
∴B₁Q：B₁P=1：2，
∵∠PDB₁=∠PB₁Q=∠B₁AQ=90°，
∴∠PB₁D=∠B₁QA，
∴△PB₁D∽△B₁QA，
∴$\frac{PD}{A{B}_{1}}=\frac{P{B}_{1}}{{B}_{1}Q}=2$，
∴B₁A=1，
∴OB₁=3，即点B₁（3，0）；

（2）∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，
∴∠OAC=30°，
∴点C（1，$\sqrt{3}$），
∵B₁E：B₁F=1：3，
∴点B₁不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，
①当点B₁在线段FE的延长线上时，如图2，延长B₁F与y轴交于点G，点B₁的横坐标为m，B₁F∥x轴，
B₁E：B₁F=1：3，
∴B₁G=m，
设OG=a，
则GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
∴CF=$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
∴EF=$4-\frac{4\sqrt{3}}{3}a$，B₁E=$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
∴B₁G=B₁E+EF+FG=$（2-\frac{2\sqrt{3}}{3}a）+（4-\frac{4\sqrt{3}}{3}a）+\frac{\sqrt{3}}{3}a=m$，
∴a=$-\frac{\sqrt{3}}{5}m+\frac{6}{5}\sqrt{3}$，即B₁的纵坐标为$-\frac{\sqrt{3}}{5}m+\frac{6}{5}\sqrt{3}$，
如图2-1中，当点Q与A重合时，可得点B′横坐标的最小值，

作CH⊥EF于H，B′T⊥OA于T，设FH=n，则CF=2n，EF=4n，EB′=2n，OF=2-2n，FG=1-n，GB=1+5n，
在Rt△AB′T中，易知TB′=OG=$\sqrt{3}$（1-n），AB′=2，AT=4-（1+5n）=3-5n，
∴[$\sqrt{3}$（1-n）]²+（3-5n）²=2²，
解得n=$\frac{2}{7}$或-1（舍弃），
∴GB′=1+$\frac{10}{7}$=$\frac{17}{7}$，
如图2-2中，当点P与A重合时，可得点B′横坐标的最大值，
作CH⊥EF于H，设FH=n，则CF=2n，EF=4n，EB′=2n，OF=2-2n，FG=1-n，GB=1+5n，

在Rt△CB′H中，易知CH=$\sqrt{3}$n，HB′=5n，CB′=CB=4，
∴（$\sqrt{3}$n）²+（5n）²=4²，
解得n=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴GB′=1+5n=1+$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，
∴m的取值范围是$\frac{17}{7}$≤m≤1+$\frac{10}{7}$$\sqrt{7}$；
②当点B₁在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长B₁F与y轴交于点G，点B₁的横坐标为m，B₁F∥x轴，
B₁E：B₁F=1：3，
∴B₁G=m，
设OG=a，
则GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
∴CF=$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
∴FE=$4-\frac{4\sqrt{3}}{3}a$，B₁F=$\frac{3}{4}EF=3-\sqrt{3}a$，
∴B₁G=B₁F+FG=$（3-\sqrt{3}a）+\frac{\sqrt{3}}{3}a=m$，
∴a=$-\frac{\sqrt{3}}{2}m+\frac{3}{2}\sqrt{3}$，即点B₁的纵坐标为$-\frac{\sqrt{3}}{2}m+\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
同法可得m的取值范围是$\frac{15}{7}≤m≤3$．

点评 此题考查四边形的综合题，关键是利用平行四边形的性质，分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析．