Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为16．

Answer 1

分析 过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，EF就是所求的线段．

解答 解：过B点作AC的垂线，垂足为Q，延长BQ到E，使BQ=QE，过E作EF垂直AB交AB于F点，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BQ=$\frac{1}{2}$AB•BC，
∴AC边上的高BQ=$\frac{20×10}{10\sqrt{5}}$=4$\sqrt{5}$，
BE=2BQ=8$\sqrt{5}$．
∵∠ABQ=∠EBF，∠AQB=∠EFB=90°，
∴△BEF∽△BAQ，
∵△BAQ∽△CAB
∵△CAB∽△BEF，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AC}{BE}$，即$\frac{20}{EF}$=$\frac{10\sqrt{5}}{8\sqrt{5}}$
EF=16．
故答案为16．

点评 本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．