Question

12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：EF+$\frac{1}{2}$AC=AB；
（2）点C₁从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A₁从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C₁与点A₁的运动速度相同，当动点C₁停止运动时，另一动点A₁也随之停止运动，如图2，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于点F₁，过点F₁作F₁E₁⊥A₁C₁于点E₁．
 ①说明点F₁在∠A₁C₁B的平分线上．
 ②试猜想2E₁F₁、A₁C₁与2AB三者之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）作辅助线构建直角△AFG，证明△AGF≌△AEF即可得出结论；
（2）先作辅助线构建直角三角形，①利用角分线性质得E₁F₁=PF₁=QF₁，证明Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，得出对应角相等，则C₁F₁是∠A₁C₁B的平分线，得出结论；
②同理得Rt△AF₁E₁≌Rt△A₁F₁P，则A₁E₁=A₁P，利用边的和与差的关系得出2AB=A₁C₁+2E₁F₁．

解答 证明：（1）如图1，过点F作FG⊥AB于G，
∵∠1=∠2，∠3=∠4=90°，AF=AF，
∴△AGF≌△AEF，
∴AE=AG，EF=FG，
∴AB=AG+BG=AE+EF，
∵AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF+$\frac{1}{2}$AC=AB；
（2）如图2，连接F₁C₁，过点F₁作F₁P⊥A₁B于P，F₁Q⊥BC于点Q，
①∵A₁F₁平分∠BA₁C₁，F₁E₁⊥A₁C₁，
∴E₁F₁=PF₁，
同理得：QF₁=PF₁，
∴E₁F₁=PF₁=QF₁，
∴Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，
∴∠QC₁F₁=∠E₁C₁F₁，
∴C₁F₁平分∠A₁C₁B，
∴点F₁在∠A₁C₁B的平分线上；
②2AB=A₁C₁+2E₁F₁，理由是：
∵Rt△AF₁E₁≌Rt△A₁F₁P，
∴A₁E₁=A₁P，
∴Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，
∴QC₁=E₁C₁，
∵A₁A=C₁C，
∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-C₁C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF₁=QF₁=QB，
∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁，
即2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形性质，利用角平分线的性质证明边相等，再证明两直角三角形全等；在证明线段的和时，有两个思路：①接：延长较短线段至等于较长线段；②截：在较长线段上截取较短线段；本题运用了第二个思路．