Question

4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD于M，EN⊥DC于N．
（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）当∠MBE与△CNE的某一个内角相等时，求AD的长；
（3）当四边形MEND与△BDE的面积相等时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由三角形的外角性质和角平分线得出得出∠DAC=∠BDE，即可得出结论；
（2）存在以下两种情况①当∠B=∠ECN时；②当∠B=∠CNE时，根据相似三角形的性质即可求得；
（3）根据四边形MEND与△BDE的面积相等，得到△DME与△BME的面积相等．证明△BME∽△BCA，△CDE∽△CBD，即可解答．

解答 解：（1）∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD．　　　
∵∠CDB=∠A+∠ACD，
∴∠CDB=2∠A．　　
∵DE平分∠CDB，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠CDB=∠A．
∴DE∥AC．　　　　　
（2）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5．　　　　　
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴∠BME=∠CNE=90°．
存在以下两种情况
①当∠B=∠ECN时，
∴CD=BD，
∵∠B+∠A=90°，∠ECN+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD．
∴CD=AD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
②当∠B=∠CNE时
∴NE∥AB．
∴∠ADC=∠CNE=90°．
∴∠ADC=∠ACB．　　
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$．
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}=\frac{9}{5}$．
综上可得：AD=$\frac{5}{2}$或$\frac{9}{5}$．
（3）∵∠EDN=∠EDM，∠DNE=∠DME=90°，DE=DE，
∴△DNE≌△DME．
∵四边形MEND与△BDE的面积相等，
∴△DME与△BME的面积相等．
∴DM=BM．　
∵EM⊥BD，
∴DE=BE．
∴∠B=∠BDE=∠CDE．
∵∠B=∠B，∠BME=∠ACB=90°，
∴△BME∽△BCA．
∴$\frac{BM}{BE}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$．
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{8}{5}$．
∵∠DCE=∠DCB，
∴△CDE∽△CBD．
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CD}{CE}=\frac{BD}{DE}=\frac{BD}{BE}=\frac{8}{5}$．
∴CD=$\frac{5}{2}$．　　　　　　
∴CE=$\frac{25}{16}$．
∴BD=$\frac{39}{16}$．
∴BE=$\frac{39}{10}$．
∴AD=AB-BD=5-$\frac{39}{16}$=$\frac{51}{16}$．

点评 此题考查了平行线的判定，还考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意不规则图形的面积的求解方法．