Question

15．在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．
（1）若图形W是由A（-2，-1），B（-2，1），C（2，1），D（2，-1）顺次连线而成的矩形：
①l₁：y=x+2，l₂：y=x+1，l₃：y=-x-3这三条直线中，与图形W成“$\sqrt{2}$相关”的直线有l₁和l₂；
②画出一条经过（0，1）的直线，使得这条直线与W成“$\sqrt{5}$相关”；
③若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y=$\sqrt{3}$x平行，与y 轴交于点Q，求点Q纵坐标y_Q的取值范围；
（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于x轴上．若直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与图形 W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标x_K的取值范围．

Answer 1

分析 （1））①如图1中，画出图形，即可判断直线l₁与l₂与图形W成“$\sqrt{2}$相关”的直线．
②符合题意的直线如图2中所示．夹在直线a和b或c和d之间的（含直线a，b，c，d）都是符合题意的．
③如图3中，设符合题意的直线的解析式为 y=$\sqrt{3}$x+b，由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1，1），（1，-1）．分别代入可求出b₁=1+$\sqrt{3}$，b₂=-1-$\sqrt{3}$，由此即可解决问题．
（2）如图4中，⊙K与直线交于点A、B，直线与x轴交于点D（-3，0），作KC⊥AB于C．假设AB=3，求出DK，再根据对称性即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，直线l₁与l₂图形W成“$\sqrt{2}$相关”的直线．

故答案为l₁和l₂．

②符合题意的直线如图2中所示．夹在直线a和b或c和d之间的（含直线a，b，c，d）都是符合题意的．



③如图3中，设符合题意的直线的解析式为 y=$\sqrt{3}$x+b，

 由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1，1），（1，-1）．
分别代入可求出b₁=1+$\sqrt{3}$，b₂=-1-$\sqrt{3}$，
∴-1-$\sqrt{3}$≤y_Q≤1+$\sqrt{3}$．

（2）如图4中，⊙K与直线交于点A、B，直线与x轴交于点D（-3，0），作KC⊥AB于C．

在Rt△AKC中，∵AC=BC=$\frac{3}{2}$，KA=2，
∴CO=$\sqrt{K{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
在Rt△CDK，∵∠CDO=30°，
∴DK=2CO=$\sqrt{2}$，
根据对称性可知，当-3-$\sqrt{7}$≤x_K≤-3+$\sqrt{7}$时，若直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与图形 W成“3相关”．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、勾股定理，解直角三角形等知识，综合性比较强，理解题意是解题的关键，属于中考创新题目．