Question

15．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2．下面四个结论：
①BF=$2\sqrt{2}$；
②∠CBF=45°；
③∠CED=30°；
④△ECD的面积为$2\sqrt{2}+3$，
其中正确的结论有①②④．

Answer 1

分析 利用旋转的性质得CF=CB=2，∠BCF=90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA=FB，BE=AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA=∠A=22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；作EH⊥BD于H，如图，根据三角形中位线性质得EH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，利用旋转性质得CD=CA=2+2$\sqrt{2}$，则利用三角形面积公式可计算出△ECD的面积，从而可对④进行判断．

解答 解：∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CF=CB=2，∠BCF=90°，
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠CBF=45°，所以①②正确；
∵直线DF垂直平分AB，
∴FA=FB，BE=AE，
∴∠A=∠ABF，
而∠BFC=∠A+∠ABF=45°，
∴∠A=22.5°，
∵CE为斜边AB上的中线，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠A=22.5°，
∴∠CEF=180°-90°-2×22.5°=45°，所以③错误；
作EH⊥BD于H，如图，
∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CD=CA=2+2$\sqrt{2}$，
∵点E为AB的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，
∴△ECD的面积=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{2}$+1）•（2+2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+3，所以④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．求出点E到CD的距离是判断④的关键．