Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理,弧长的计算

专题：几何图形问题

分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；
（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．

解答：解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；

（2）连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴

BC

=

BD

，
∵∠PBC=∠DCB=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为：

135×π×2

180

=

3π

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．