Question

（1）如图，CD⊥AB，若BC=6，AC=8，AB=10，证明△ABC是直角三角形，并求CD．
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若BC=a，AC=b，AB=c，CD=h，求证：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,勾股定理

专题：

分析：（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再根据△ABC的面积不变列式求出CD；
（2）先在Rt△ABC中由勾股定理得出a²+b²=c²，再根据△ABC的面积不变列式得出ab=ch，进而证明

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

解答：解：（1）∵△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴△ABC的面积=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=

8×6

10

=4.8；

（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
∴a²+b²=c²．
∵CD⊥AB，
∴△ABC的面积=

1

2

ab=

1

2

ch，
∴ab=ch，
∴a²•b²=c²•h²，
∴

c2

a2b2

=

1

h2

，
∴

a2+b2

a2b2

=

1

h2

，
∴

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

点评：本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，难度适中．