勾股定理是世界上最伟大的定理之一.是用代数思想解决几何问题的重要工具.也是数形结合的纽带.周老师在上八年级一节拓展课时.教学环节清晰.内容安排有序.问题设计合理.作为课堂主人的你.请积极思考解决下列问题:[知识回顾]勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系:a2+b2=c2.而a2.b2.c2又可以看成是以a.b.c为边长的正方形面积.因此.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带，周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下），作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：
【知识回顾】
勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a²+b²=c²，而a²，b²，c²又可以看成是以a，b，c为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1），即S₁+S₂=S₃．
【问题探究】
（1）如果以直角三角形三条边a，b，c为直径，向形外分别作半圆（如图2），那么三个半圆的面积为S₁，S₂，S₃之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：S₁+S₂=S₃；
（2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边a，b，c为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：等边三角形或等腰直角三角形，并写出证明过程；不存在的，请说明理由．
【拓展应用】
（1）如图4，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S₂、S₁，则S₁+S₂的值等于2π；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，分别以AB，AC为直径作半圆，以BC为直径作半圆刚好经过点A（如图5所示），若AB=4，AC=3，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即S₁+S₂=6．

分析问题探究：（1）结论：S₁+S₂=S₃，利用圆面积公式以及勾股定理即可证明．
（2）等边三角形．利用等边三角形的面积以及勾股定理即可证明．
拓展应用：（1）利用问题探究中的结论即可解决问题．
（2）根据S₁+S₂=$\frac{1}{2}$π（AB）²+$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$AC）²-$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$BC）²+S_△ABC=$\frac{1}{8}$π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC计算即可．

解答解：问题探究：（1）结论：S₁+S₂=S₃．理由如下：
∵S₃=$\frac{π}{8}$c²，S₂=$\frac{π}{8}$b²，S₁=$\frac{π}{8}$a²，a²+b²=c²，
∴S₁+S₂=S₃．
故答案为S₁+S₂=S₃．

（2）等边三角形或等腰直角三角形．
如图3中，以直角三角形的三条边a，b，c为边，向外作等边三角形，如图所示，

∵S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，a²+b²=c²，
∴S₂+S₃=S₁．
等腰三角形时证明方法类似．
故答案为等边三角形或等腰直角三角形．

拓展应用：（1）如图2中，∵S₁+S₂=S₃，S₃=$\frac{π}{8}$c²=$\frac{π}{8}$×16=2π．
故答案为2π．

2）解：如图5中，

△ABC中，∵AB²+AC²=BC²
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$π（AB）²+$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$AC）²-$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$BC）²+S_△ABC=$\frac{1}{8}$π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
故答案为6．