Question

12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点是AB上的一个动点（不与A，B两点重合），DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，点D从靠近点A的某一点向点B移动，矩形DECF的周长变化情况（　　）

• A． 先增大后减少
• B． 先减少后增大
• C． 逐渐增大
• D． 逐渐减少

Answer 1

分析 设DE=λ，运用相似三角形的性质，将矩形DECF的周长表示为λ的一次函数的形式，运用函数的性质即可解决问题

解答 解：设DE=λ，DF=μ；
∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF=DE=λ，CE=DF=μ，
∴矩形DECF的周长η=2λ+2μ；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{λ}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$①；同理可证$\frac{μ}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$②，
由①+②得：$\frac{λ}{6}$$+\frac{μ}{8}$=1，
∴μ=8-$\frac{4}{3}$λ
∴η=2λ+16-$\frac{8}{3}$λ，
=-$\frac{2}{3}$λ+16，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴η随λ的增大而减小；
∵点D从靠近点A的某一点向点B移动时，λ逐渐变大，
∴矩形DECF的周长η逐渐减小．
故选D．

点评 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答