题目内容

4．已知：直线l1与直线l2平行，且它们之间的距离为3，A，B是直线l1上的两个定点，C，D是直线l2上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=6，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A1BC．（如图1）
（1）当A1与D重合时（如图2），四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？
（2）当A1与D不重合时，连接A1D，则A1 D∥BC（不需证明），此时若以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩
形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）2的值．

分析 （1）根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；
（2）讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=6，则S矩形A1CBD=12，即ab=12，由BA1=BA=6，根据勾股定理得到a2+b2=36，然后根据完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=3，而CD=6，所以（a+b）2=（3+6）2．．

解答 解：（1）四边形ABDC是菱形；
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵A1与D重合时，
∴AC=CD，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）当以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形如图1时，连结A1B，S△A1CB=S△ABC=$\frac{1}{2}×6×3=9$
∴S矩形A1CBD=18，即ab=18，而在Rt△BCD中，
∴a2+b2=CD2=36
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=36+36=72，
当以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形如图2时，
∴（a+b）2=（3+6）2=81，
∴（a+b）2的值为72或81．

点评 本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．

练习册系列答案
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A．45B．46C．47D．48

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