Question

11．如图，⊙O的直径AB=2，P是上半圆（A、B除外）上任一点，∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于PC平分∠APB，易得$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．进一步由M、N是AC、BC的中点，因此MN是△ABC的中位线，根据平行线分线段成比例定理可得：OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=1．连接OE，可在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．

解答 解：如图，

∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC=∠CPB，
∴弧AC=弧BC；
∴AC=BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵M、N是AC、BC的中点，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$．
连接OE，根据勾股定理，得：DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=2ED=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．