Question

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，过点A作AE⊥AD且AE=AD，过点E作EF垂直于AC边所在的直线，垂足为点F，连接DF，请你画出图形，并直接写出线段DF的长．

Answer 1

分析 分两种情况：①点E在CF上方，根据直角三角形的性质得出AC=8，作DG⊥AC可得AG=4、DG=3，再证△EAF≌△ADG可得AF=DG=3，即GF=7，由勾股定理即可得答案；②点E在AC下方时，与①同理可得．

解答 解：①如图1，当点E在CF上方时，

∵点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，
∴CD=AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AB=10，AC=8，
过点D作DG⊥AC于G，
∴AG=CG=$\frac{1}{2}$AC=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=3，∠EFA=∠AGD=90°，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAF+∠DAG=90°，
∴∠AEF=∠DAG，
在△EAF和△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠AGD}\\{∠AEF=∠DAG}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△ADG（AAS），
∴AF=DG=3，
∴在Rt△DFG中，DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{58}$；

②如图2，当点E在AC下方时，作DH⊥AC于H，

与①同理可得△DAH≌△AEF，
∴AF=DH=3，
∴FH=AH-AF=1，
则DF=$\sqrt{D{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
综上，DF的长为$\sqrt{58}$或$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，添加辅助线构建了全等三角形，并且将待求线段放到直角三角形中去求是解题的关键，两种情况是容易遗漏的．