Question

13．如图，点M为正五边形ABCDE的边BC上一点，$\frac{BM}{CM}$=2，连结AM，作∠AMN=108°，MN交CD于点N，则$\frac{CN}{ND}$的值为$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 先根据正五边形的性质求出∠B=∠C=108°，故可得出∠BAM+∠AMB=72°，∠CMN+∠CNM=72°，再由∠AMN=108°得出∠AMB+∠CMN=72°，故可得出∠BAM=∠CMN，由此得出△ABM∽△MCN，再由相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=∠C=108°，AB=CD，
∴∠BAM+∠AMB=72°，∠CMN+∠CNM=72°．
∵∠AMN=108°，
∴∠AMB+∠CMN=72°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△ABM∽△MCN，
∴$\frac{CM}{AB}$=$\frac{CN}{BM}$．
∵$\frac{BM}{CM}$=2，
∴设BM=2x，则CM=x，AB=3x，
∴$\frac{x}{3x}$=$\frac{CN}{2x}$，解得CN=$\frac{2x}{3}$，
∴ND=3x-$\frac{2}{3}$x=$\frac{7}{3}$x，
∴$\frac{CN}{ND}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{\frac{7}{3}x}$=$\frac{2}{7}$．
故答案为：$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．