Question

15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）

• A． 3
• B． 1.5
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．

解答 解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=$\frac{1}{2}$AC′=$\frac{1}{2}$AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC-EC=AB-EC=3-x，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：x²=（3-x）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得：x=2，
∴EC=2，
则S_△AEC=$\frac{1}{2}$EC•AD=$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．