Question

6．如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足为G，则：
（1）△ABF与△AGF全等吗？说明理由；
（2）求∠EAF的度数；
（3）若AG=4，△AEF的面积是6，求△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据HL可得出△ABF≌△AGF．
（2）只要证明∠BAF=∠GAF，∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°．
（3）设FC=x，EC=y，则BF=4-y，DE=4-y，构建方程组，求出xy即可解决问题．

解答 解：（1）结论：△ABF≌△AGF．
理由：在Rt△ABF与Rt△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△AGF，

（2）∵△ABF≌△AGF
∴∠BAF=∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；
即∠EAF=∠EAD+∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
故∠EAF=45°．

（3）∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$×EF×AG，AG=4
∴6=$\frac{1}{2}$×EF×AG，
∴EF=3，
∵BF=FG，EG=DE，AG=AB=BC=CD=4，设FC=x，EC=y，则BF=4-x，DE=4-y，
∵BF+DE=FG+EG=EF=3，
∴4-x+4-y=3，
∴x+y=5   ①
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+FC²，
∴x²+y²=3²     ②
①²-②得到，2xy=16，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$xy=4．

点评 主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，学会整体今天的数学思想，属于中考常考题型．