Question

16．阅读下列内容：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，
…
$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
请完成下面的问题：
（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
（2）试求$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据给定分数间的关系，将其代入算式$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$中，消元后即可得出结论；
（2）根据给定的算式可找出$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…，$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$），将其代入算式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$中，消元后即可得出结论．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故答案为：$\frac{2014}{2015}$．
（2）∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…，$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$），
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2014}{2015}$=$\frac{1007}{2015}$．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，根据给定材料找出$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…，$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）是解题的关键．