Question

16．如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足（a+4）²+$\sqrt{b-4}$=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若线段AC与y轴交于点Q（0，2），在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形QCP的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图②，求∠AED的度数．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质即可解决问题．
（2）设P点坐标为（0，y），根据S_△PQC=S_△ABC=16列出方程即可解决问题．
（3）如图2中：过点E作EF∥AC，首先证明∠AED=∠CAE+∠BDE，再根据∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，由AC∥BD，得∠ODB=∠AQD，所以∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠AQD），由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵（a+4）²+$\sqrt{b-4}$=0，
又∵（a+4）²+≥0，$\sqrt{b-4}$≥0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4=0}\\{b-4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴A（-4，0），C（4，4），B（4，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$×8×4=16．

（2）设P点坐标为（0，y），
∵Q（0，2），
∴PQ=|y-2|，
当S_△PQC=S_△ABC=16时，
$\frac{1}{2}$•|y-2|×4=16，
解得y=10或-6，
∴P（0，10）或（0，-6）．

（3）如图2中：过点E作EF∥AC，

∵AC∥BD
∴EF∥BD
∴∠CAE=∠AEF，∠EDB=∠DEF
∴∠CAE+∠EDB=∠AEF+∠DEF
∴∠AED=∠CAE+∠BDE
∵AE、DE分别平分∠CAB和∠ODB
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ODB，
∵AC∥BD
∴∠ODB=∠AQD
∴∠AED=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ODB）=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠AQD）=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

点评 本题考查三角形综合题、非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会利用方程的思想思考问题，学会添加常用辅助线，记住一些基本图形、基本结论，属于中考常考题型．