Question

12．如图，AD是△ABC边BC上的高，CD=5，BD=3，cos∠BAD=tan∠ACD．
（1）求证：AB=DC；
（2）求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义，将cos∠BAD=tan∠ACD转化成用边表示，即可得出AB=DC；
（2）根据勾股定理得出AD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC的长．

解答 解：（1）∵AD是△ABC边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∵cos∠BAD=tan∠ACD，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴AB=CD；
（2）∵CD=5，BD=3，
∴AB=5，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，AD²+CD²=AC²，
∴AC=$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了解直角三角形的知识，勾股定理，注意熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．