Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点M，对称轴MN与x轴相交于点N，连接AC．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求∠CAO的大小；
（3）抛物线的对称轴MN上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求得x的值即可求得与x轴的交点坐标；
（2）求得点C的坐标后即可得到AO=CO，从而得到∠CAO的度数；
（3）首先求得直线AC的解析式，然后设垂直于AC的解析式为y=-x+b，然后分当经过点C与AC垂直和经过点A且垂直于AC两种情况求得结果即可．

解答 解：（1）令y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得：x=-2或x=4，
故A点的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0）；

（2）∵令x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴AO=CO=2，
∴∠CAO=45°；

（3）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{9}{4}$，
∴对称轴为x=1，
∵A（-2，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y=x+2，
当直角△ACP的直角边PC经过点C时，
设直线PC的解析式为y=-x+b，
∵经过点C（0，2），
∴直线PC的解析式为y=-x+2，
∴当x=1时，y=-1+2=1，
∴点P的坐标为（1，1）；
当直角△ACP的直角边PA经过点A时，
设直线PA的解析式为y=-x+b，
∵经过点A（-2，0），
∴直线AP的解析式为y=-x-2，
∴当x=1时，y=-1-2=-3，
∴点P的坐标为（1，-3）；
综上所述：点P的坐标为（1，1）和（1，-3）．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，重点考查了与坐标轴的交点坐标及待定系数法的知识，特别是第（3）题中的分类讨论数学思想更是中考的热点考题之一，难度中等．