Question

2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连接CG，试说明：△CGB是等腰三角形．

Answer 1

分析 先由SAS证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，再根据角的互余关系求出AF⊥BE，同理得出CM⊥BE，证出AF∥CM，得出CM垂直平分BG，从而证出
CG=BC，得出结论．

解答 解：取AB的中点M，连接CM交BE于N，如图所示：
∵四边形ABCD1S1正方形，
∴AB=DA=CD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵点E、F分别是边AD和CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BE，
同理可得CM⊥BE，
∴AF∥CM，
∵M是AD的中点，
∴N是BG的中点，
∴CM垂直平分BG，
∴CG=BC，
∴△CGB是等腰三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质、平行的判定；通过证明三角形全等，进一步证出平行线是解决问题的关键．