Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，半径为4的⊙O分别与直线BC，AC相切于点B，D，过点A作⊙O的切线，E为切点，当AE∥BC时，AE的长是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图连接BE、作AM⊥BC于M，先证明AB=AC=3AE，在RT△ABE中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图连接BE、作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=MC，
∵AE、CB是切线，
∴∠AEB=∠EBC=90°，∵∠AMB=90°，
∴四边形AMBE是矩形，
∴AE=BM=MC，
∵AC是切线．
∴AE=AD，CB=CDM
∴AC=AE+BC=AE+2AE=3AE，设AE=a，则AB=AC=3a，
在RT△ABE中，∵AB²=BE²+AE²，
∴9a²=a²+8²，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴AE=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．