如图.在⊙O中.弦AB与弦CD相交于点G.OA⊥CD于点E.过点B的直线与CD的延长线交于点F.AC∥BF．(1)若∠FGB=∠FBG.求证:BF是⊙O的切线,(2)若tan∠F=$\frac{3}{4}$.CD=24.求⊙O的半径,(3)请问$\frac{{G{F^2}-G{B^2}}}{{\sqrt{2}DF•GF}}$的值为定值吗?如是.请写出计算过程.若不是请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=$\frac{3}{4}$，CD=24，求⊙O的半径；
（3）请问$\frac{{G{F^2}-G{B^2}}}{{\sqrt{2}DF•GF}}$的值为定值吗？如是，请写出计算过程，若不是请说明理由．

分析（1）由OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，由OA⊥CD，得出∠OAB+∠AGC=90°，推出∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°，即可得出结论；
（2）由平行线得出∠ACF=∠F，求出CE=$\frac{1}{2}$CD=12，得出tan∠ACF=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，求出AE=9，连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-9，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）连接BD，证明△BDG∽△FBG，得出对应边成比例$\frac{DG}{GB}=\frac{GB}{GF}$，得出GB²=DG•GF，即可得出结果．

解答（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F
∵CD=24，OA⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=12，
∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠ACF=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{AE}{12}=\frac{3}{4}$，
解得AE=9，
连接OC，如图1所示：
设圆的半径为r，则OE=r-9，
在Rt△OCE中，CE²+OE²=OC²，
即12²+（r-9）²=r²，
解得：r=12.5；
（3）解：是定值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；理由如下：
连接BD，如图2所示：
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F，
∴∠DBG=∠F，
∵∠DGB=∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
∴$\frac{DG}{GB}=\frac{GB}{GF}$，
即GB²=DG•GF，
∴$\frac{G{F}^{2}-G{B}^{2}}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{G{F}^{2}-DG•GF}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{GF（GF-DG）}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{GF•DF}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．