Question

5．（1）问题背景
如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：$\sqrt{2}$PA=PB+PC．
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；
第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．
（2）类比迁移
如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．
（3）拓展延伸
如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=$\frac{4}{3}$AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；
（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=$\frac{4}{3}$OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=$\frac{4}{3}$OC，当BQ最小时，OC最小；

解答 （1）证明：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，
∵∠PCA+∠PBA=180°，
∴∠QBA+∠PBA=180°，
∴Q，B，P三点共线，
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，
∴QP²=AP²+AQ²=2AP²，
∴QP=$\sqrt{2}$AP=QB+BP=PC+PB，
∴$\sqrt{2}$AP=PC+PB．

（2）解：如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，

∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
由旋转可得　QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC
∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°
∴在Rt△OAQ中，OQ=3$\sqrt{2}$，AO=3   
∴在△OQB中，BQ≥OQ-OB=3$\sqrt{2}$-3  
即OC最小值是3$\sqrt{2}$-3

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=$\frac{4}{3}$OA，连接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，
∠QAB=∠OAC，
∵$\frac{QA}{OA}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴△QAB∽OAC，
∴BQ=$\frac{4}{3}$OC，
当BQ最小时，OC最小，
易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ-OB，
∴BQ≥2，
∴BQ的最小值为2，
∴OC的最小值为$\frac{3}{4}$×2=$\frac{3}{2}$，
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．