Question

如图、AC、AB是⊙O弦（AB＞AC）
（1）如图1，请在AC上确定一点E，使AC²=AE•AB，证明你的结论；
（2）在（1）的结论下延长EC到P，连结PB，若PB=PE，求证：PB是⊙O的切线；
（3）在条件（2）的情况下，若E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？若是，请证明；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）能找到一点E，使AC²=AE•AB．当△ACE∽△ABE时就有这个结论；
（2）在条件（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．利用（1）的结论可以得到∠ACB=∠AEC．根据PB=PE，可以得到∠PBE=∠PEB．再利用圆内接四边形的性质和直径所对的圆周角是直角，可以证明∠PBE+∠BAE=90°，从而证明题目结论；
（3）C是PE的中点．根据切线长定理可以得到PB²=PC•PD，而E是PD的中点，可以得到PE=PD，代入PB²=PC•PD中，变换就可以得到题目结论．

解答：解：（1）能找到一点E，使AC²=AE•AB．
当∠AEC=∠ACB时，又∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABE，
∴

AC

AB

=

AE

AC

，
故AC²=AE•AB；

（2）在条件（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．
∵AC²=AE•AB，
∴△ACE∽△ABC．
∴∠ACB=∠AEC，而PB=PE．
∴∠PBE=∠PEB，而∠ACB+∠F=180°，∠AEC+∠PEB=180°，
∴∠F=∠PEB．
∴∠PBE=∠F，而∠F+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠PBE=90°．
∴PB和⊙O相切．

（3）根据（2）可以得到PB²=PC•PD．
而E是PD的中点，可以得到PE=DE．
∴PE²=（PE-CE）×2PE=2PE²-2PE•CE．
∴PE=2CE，
∴C是PE的中点．

点评：本题主要考查了圆的切线的判定定理的证明．证明线段的乘积相等的问题一般可以转化为三角形相似问题，证明切线的问题，可以转化为证明切线是垂直于半径，并且经过半径的外端点．