Question

如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：
（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，

AE=CG ∠A=∠C AH=CF

，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．
又∵AE=CG，AH=CF，
∴BE=DG，BF=DH，
在△BEF与△DGH中，

BE=DG ∠B=∠D BF=DH

∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF=GH．
又由（1）知，△AEH≌△CGF，
∴EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE=∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠HEG=∠HGE，
∴HE=HG，
∴四边形EFGH是菱形．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．