Question

9．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知一次函数y=-2x的图象为直线l₁，求过点P（1，4）且与已知直线l₁平行的直线l₂的函数表达式，并在坐标系中画出直线l₁和l₂的图象；
（2）设直线l₂分别与y轴、x轴交于点A、B，过坐标原点O作OC⊥AB，垂足为C，求l₁和l₂两平行线之间的距离OC的长；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值，并求取得最小值时Q点的坐标．
（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）设直线l₂的解析式为y=-2x+b，把点P（1，4）代入即可求得b的值，进而求得函数的解析式；
（2）首先求出A和B的坐标，然后根据三角形的面积公式求得；
（3）B关于y轴的对称点B'（-3，0），连结B'P交y轴于Q，求得PB'的解析式，则Q的坐标即可求得；
（4）分B、M和P分别是等腰三角形的顶角的顶点三种情况进行讨论，依据等腰三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）∵l₁∥l₂，
∴设直线l₂的解析式为y=-2x+b，
把点P（1，4）代入得，4=-2+b，b=6
∴y=-2x+6（1分），
画图如右图所示   
（2）直线l₂与y轴、x轴的交点A、B的坐标，分别为（0，6），（3，0）；
∵OA=6，OB=3，则AB=$3\sqrt{5}$，
又S_△AOB=2OA×OB=AB×OC，
∴$OC=\frac{6}{{\sqrt{5}}}$（或$\frac{6}{5}\sqrt{5}$）
（3）∵B关于y轴的对称点B'（-3，0），连结B'P交y轴于Q，
∴QP+QB的最小值为$4\sqrt{2}$，
∵直线B'P的解析式为y=x+3，
∴Q（0，3），
（4）过P作PD⊥x轴于点D，则D的坐标是（1，0），当P是等腰△PBM的顶角顶点时，M的坐标是（-1，0）；
在直角△PBD中，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则当B是等腰△PBM的顶角的顶点时，M的坐标是（3+2$\sqrt{5}$，0）或M（3-2$\sqrt{5}$，0）；
PB的中点是（2，2），设过（2，2）且与AB垂直的直线的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x+c，
则1+c=2，
解得：c=1，
则函数的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+1．
当y=0时，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2．
则M的坐标是（-2，0）．
总之，M（-1，0）或M（-2，0）或M（3+2$\sqrt{5}$，0）或M（3-2$\sqrt{5}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及等腰三角形的性质，正确进行讨论是本题的关键．