Question

14．如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 先判断DE为△ABC的中位线，则AE=BE，加上PE=EF=3，则可判断四边形PBFA是平行四边形，所以PA=BF，PB∥AF，根据平行线的性质得∠BPF=∠AFP，由PF∥AC得∠AFP=∠FAC，接着根据圆周角定理得到∠FBC=∠FAC，则∠FBC=∠BPF，于是可证明△BFD∽△PFB，利用相似比可计算出BF=$\sqrt{6}$，从而得到PA=BF=$\sqrt{6}$．

解答 解：∵点D为BC的中点，DE∥AC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AE=BE，
∵PE=EF=3，
∴四边形PBFA是平行四边形，
∴PA=BF，PB∥AF，
∴∠BPF=∠AFP，
∵PF∥AC，
∴∠AFP=∠FAC，
∴BPF=∠FAC，
又∵∠FBC=∠FAC，
∴∠FBC=∠BPF，
∵∠DFB=∠BFP，
∴△BFD∽△PFB，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{BF}{PF}$，即$\frac{3-2}{BF}$=$\frac{BF}{3+3}$
∴BF=$\sqrt{6}$，
∴PA=BF=$\sqrt{6}$．
故选C．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握三角形中位线性质、平行四边形的判定与性质和圆周角定理；会运用相似比计算有关线段的长．