Question

如图，顺次连接正方形ABCD的四边中点得到正方形①，再顺次连接正方形①的四边得到正方形②，依此规律继续连接可得到正方形③，正方形④，…
（1）若正方形ABCD的面积为16，则正方形③的边长a₃=

 

；
（2）若正方形ABCD的面积为S，则正方形n的边长a_n=

 

．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：规律型

分析：（1）根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，以此类推可得正方形③的面积，从而求得其边长a₃；
（2）根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，以此类推可得正方形n的面积，从而求得其边长a_n．

解答：解：（1）顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形①，则得正方形①的面积为正方形ABCD面积的一半，即正方形ABCD的

1

2

；
顺次连接正方形①的中点得正方形②，则正方形②的面积为正方形①面积的一半，即正方形ABCD的

1

4

；
顺次连接正方形②得正方形③，则正方形③的面积为正方形②面积的一半，即正方形ABCD的

1

8

．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴正方形③的面积是：

1

8

×16=2．
∴正方形③的边长a₃=

2

．
故答案是：

2

；

（2）由（1）的规律知，正方形n的面积是：（

1

2

）ⁿS，则正方形n的边长a_n=

( 1 2 )nS

．
故答案是：

( 1 2 )nS

．

点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到面积关系．