Question

20．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，过点D作DM⊥BE于M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：BM=EM．

Answer 1

分析 （1）首先根据等边三角形的性质，可得∠ACB=60°，然后根据CE=CD，可得∠E=∠CDE；最后根据三角形的外角的性质，求出∠E的度数即可．
（2）首先连接BD，判断出∠ABC=2∠DBE，∠ACB=2∠E；然后根据∠ABC=∠ACB，判断出∠DBC=∠E，所以BD=DE，再根据DM⊥BE，判断出BM=EM即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E，
∴∠E=60°÷2=30°．
即∠E的度数是30°．

（2）如图，连接BD，，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠DBE；
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE．
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E；
∵∠ABC=∠ACB，
∴2∠DBC=2∠E，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE，
∵DM⊥BE，
∴BM=EM．

点评 （1）此题主要考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（3）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．