Question

11．若⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点K，AC=4，CK=1，求内切圆的半径．

Answer 1

分析 连结OE、OD，根据切线的性质得OE⊥BC，OD⊥AC，则可证明四边形OECD为正方形，则OE=CE=r，然后证明△KOE∽△KAC，利用相似比可计算出r．

解答 解：连结OE、OD，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
而∠C=90°，
∴四边形OECD为正方形，
∴OE=CE=r，
∵OE∥AC，
∴△KOE∽△KAC，
∴$\frac{KE}{KC}$=$\frac{OE}{AC}$，即$\frac{1-r}{1}$=$\frac{r}{4}$，
解得，r=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了相似三角形的判定与性质．