Question

3．已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O₁和⊙O₂相交于点A，B，过A作⊙O₁的直径AC与⊙O₂交于点D，且AD：DC=3：2，E为DC的中点．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到AD=6，DC=4，由E为DC的中点．得到DE=EC=2，AD=6作O₂F⊥AB于F点，则AF=FD=3，FE=FD+DE=3+2=5，推出四边形AO₁O₂B是菱形．根据菱形的性质得到O₂B∥AC∥FE，推出O₂BEF是矩形．于是得到AC⊥BE；
（2）根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵两等圆的半径为5，
∴AC=10，
∵AD：DC=3：2，
∴令AD=3a，DC=2a，
∵AD+DC=AC=10，
∴a=2，
∴AD=6，DC=4，
∵E为DC的中点．
∴DE=EC=2，AD=6
作O₂F⊥AB于F点，则AF=FD=3，FE=FD+DE=3+2=5，
∵AO₁=AO₂=BO₁=BO₂=5．
∴四边形AO₁O₂B是菱形．
∴O₂B∥AC∥FE，
又知FE=5=O₂B，
∴O₂BEF是平行四边形，
而O₂F⊥AB于F点，∴O₂BEF是矩形．
∴AC⊥BE；
（2）∵O₁B=5，AE=AD+DE=8，
∴O₁E=AE-5=3，
∴BE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相交两圆的性质，菱形的判定和性质，就行的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．