Question

20．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm，底边BC长10cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上，AH交DG于M．
（1）求证：AM•BC=AH•DG；
（2）加工成的矩形零件DEFG的面积能否等于25cm²？若能，求出宽DE的长度；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对边平行得到DG∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”得到△ADG∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，然后利用比例的基本性质即可证明AM•BC=AH•DG；
（2）当加工成的矩形零件DEFG的面积等于25cm²时，设宽DE的长度为xcm，则AM=（8-x）cm，DG=$\frac{25}{x}$cm．根据（1）中结论AM•BC=AH•DG，列出方程（8-x）×10=8×$\frac{25}{x}$，整理得x²-8x+20=0，进而求解即可．

解答 （1）证明：∵四边形DEFG为矩形，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，
∴AM•BC=AH•DG；

（2）解：加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm²，理由如下：
当加工成的矩形零件DEFG的面积等于25cm²时，设宽DE的长度为xcm，则AM=（8-x）cm，DG=$\frac{25}{x}$cm．
∵高线AH长8cm，底边BC长10cm，AM•BC=AH•DG，
∴（8-x）×10=8×$\frac{25}{x}$，
整理得x²-8x+20=0，
∵△=64-4×20=-16＜0，
∴x无实数根，
故加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm²．

点评 此题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比，得出$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$．