Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上的两个动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为2cm/s．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由．
（2）若BD=24cm，AC=32cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，求出BD、EF互相平分，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质求出EF=24cm，OE=OF=12cm，OA=OC=16cm，即可得出答案．

解答 证明：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F两动点分别以A、C两点以相同的速度向C、A运动，
∴AE=CF，
∴OA-AE=OC-OF，即OE=OF，
∴BD、EF互相平分，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD=EF时　四边形DEBF是矩形，
∵BD=24cm，
∴EF=24cm，
∴OE=OF=12cm，
∵AC=32cm，
∴OA=OC=16cm，
∴AE=4cm或28cm，
∵E、F两边动点的速度都是2cm/s，
∴t=2s 或t=14s，
∴当运动时间t=2s或14s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能熟记矩形和平行四边形的性质和判定是解此题的关键．