题目内容
18．在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两点．（1）如图①，AM=CN，连接DM并延长，交AB于点F，连接BN并延长，交DC于点E，连接BM、DN．
求证：①四边形MBND为菱形
②△MFB≌△NED．
（2）如图②，AM≠CN，连接BM并延长交AD于点G，连接DH并延长交BC于点N．连接DM、BN，若∠AMB=105°，∠DNC=115°，则∠GMD﹢∠HNB的度数是80°．
分析 （1））①如图①中，连接BD交AC于O，先证明四边形BMDN是平行四边形，再根据NM⊥BD即可证明．
②先证明四边形BFDE是平行四边形，得到∠BFM=∠DEN，再证明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解决问题．
（2）分别求出∠GMD、∠HNB即可解决问题．
解答 （1）①证明：如图①中，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AM=CN，
∴OM=ON，∵OB=OD，
∴四边形MBND是平行四边形，
∵MN⊥DB，
∴四边形MBND是菱形．
②证明：∵四边形MBND是菱形，
∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
∴∠BMF=∠DNE，
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BFM=∠DEN，
在△MFB和△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEN}\\{∠BMF=∠DNE}\\{MB=DN}\end{array}\right.$，
∴△MFB≌△NED．
（2）如图②中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCN=∠DCN，BC=CD，
在△NCB和△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=CN}\\{∠NCB=∠NCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△NCB≌△NCD，
∴∠BNC=∠DNC=115°，同理可证∠AMD=∠AMB=105°，
∵∠CNH=180°-∠DNC=65°，
∴∠BNH=∠BNC-∠CNH=50°，
∴∠DMG=105°-75°=30°，
∴∠GMD﹢∠HNB=30°+50°=80°．
故答案为80．
点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
阅读快车系列答案| A． | 30x+750＞1080 | B． | 30x-750≥1080 | C． | 30x-750≤1080 | D． | 30x+750≥1080 |
| 项目 | 第一次锻炼 | 第二次锻炼 |
| 步数（步） | 10000 | ①10000（1+3x） |
| 平均步长（米/步） | 0.6 | ②0.6（1-x） |
| 距离（米） | 6000 | 7020 |
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是OA，OC的中点，O为对角线AC与BD的交点，试问四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上的两个动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为2cm/s．