Question

4．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点（-1，4）与点（3，12）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若这个一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求三角形AOB的面积；
（3）若点M是这个一次函数图象上一点，MN⊥x轴于点N，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求一次函数解析式为；
（2）先利用坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；
（3）如图，设M（t，2t+6），分类讨论：当∠NMP=90°或∠MNP=90°，根据等腰直角三角形的性质得|t|=|2t+6|；当∠MPN=90°时，利等腰直角三角形斜边上的高等于斜边得一半得到|t|=$\frac{1}{2}$|2t+6|，然后分别解关于t的方程即可得到M点的坐标．

解答 解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{3k+b=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
所以一次函数解析式为y=2x+6；
（2）当x=0时，y=2x+6=6，则B（0，6），
当y=0时，2x+6=0，解得x=-3，则A（-3，0），
所以三角形AOB的面积=$\frac{1}{2}$×3×6=9；
（3）如图，设M（t，2t+6），
当∠NMP=90°或∠MNP=90°，则|t|=|2t+6|，解得t=-2或t=-6，此时M点坐标为（-2，2）或（-6，-6）；
当∠MPN=90°时，|t|=$\frac{1}{2}$|2t+6|，解得t=-$\frac{3}{2}$，此时M点坐标为（-$\frac{3}{2}$，3），
综上所述，满足条件的M点坐标为（-2，2）或（-6，-6）或（-$\frac{3}{2}$，3）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．灵活运用坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质是解决（3）小题的关键．