Question

19．已知PA、PB是⊙O的两条切线，点C是⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线交PA、PB于D、E两点，若∠APB=40°，则∠DOE=70°或110°．

Answer 1

分析 根据题意画出符合条件的两种图形，求出∠AOB的值，求出∠DOE=∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC，代入即可求出答案．

解答 解：分为两种情况：
①如图1，连接OA、OB、OC，

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO=∠ECO=90°，
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，
∴∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，
∵∠AOD=180°-∠OAD-∠ADO，∠COD=180°-∠OCD-∠CDO，
∴∠AOD=∠COD，
同理可证：∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°；
②如图2，∠DOE=$\frac{1}{2}$×（360°-140°）=110°．

故答案为：70°或110°．

点评 本题考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度，注意符合条件的有两种情况．